Энергия запасенная в катушке

Энергия запасенная в катушке

Катушка индуктивности — это реактивный (запасающий энергию) элемент электрической цепи, который имеет свойство накапливать электрическую энергию W в магнитном поле электрической катушки и противодействовать любому изменению протекающего по ней тока iL под воздействием приложенного внешнего электрического напряжения uL за счет наведения в катушке ЭДС самоиндукции eL(t).

Индуктивность (L) — это количественный показатель, характеризующий свойство катушки индуктивности накапливать электрическую энергию в магнитном поле:

L [Гн] = w 2 mS / l

где w — число витков катушки, S, l — размеры катушки, m — магнитная проницаемость среды.

1 Гн = 10 3 мГн = 10 6 мкГн

Электрическая энергия, запасенная в катушке индуктивности (индуктивном накопителе энергии), составляет:

W[Дж] = LiL 2 / 2

ЭДС самоидукции eL(t) — это электродвижущая сила, возникающая в катушке при любом изменении протекающего по ней тока в соответствии с законом электромагнитной индукции (закон Ленца), которая уравновешивает приложенное к катушке внешнее напряжение uL(t):

2.3.2. Основные соотношения при переменном синусоидальном напряжении (см. нижние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к катушке индуктивности после включения ключа Sw1:

Электрический ток, протекающий по катушке индуктивности, может быть определен после разделения переменных и интегрирования этого уравнения:

где wL = 2pfL = XL — индуктивное сопротивление катушки индуктивности. В расчетах принимается, что катушка индуктивности "идеальная", т.е. не имеет активной составляющей сопротивления.

Электрический ток отстает по фазе относительно приложенного к катушке индуктивности напряжения на 90 о

Реактивная мощность катушки индуктивности:

Реактивная мощность катушки индуктивности не имеет постоянной составляющей, а только переменную, которая изменяется с двойной частотой источника электрической энергии. При этом за период основной частоты источника электрической энергии катушка индуктивности дважды запасает электрическую энергию от источника (когда ток и напряжение находятся в одной фазе), а затем дважды отдает ее источнику (когда ток и напряжение находятся в противофазе), т.е. происходит обмен энергией без каких-либо ее потерь.

2.3.3. Основные соотношения при постоянном напряжении (см. верхние графики)

Внешнее напряжение, которое будет приложено к катушке индуктивности в момент времени t1 после включения ключа Sw1: u(t) = U = const .

В момент времени t1, после включения ключа Sw1образуется замкнутая электрическая цепь (см. схему), в которой в соответствии со вторым законом Кирхгофа внешнее напряжение U уравновешивается противо-ЭДС самоиндукции eL(t) и падением напряжения на активном сопротивлении r (внутреннем сопротивлении источника электрического напряжения, сопротивлении катушки индуктивности, контактных сопротивлениях цепи):

Ток в цепи и ЭДС самоиндукции определяются из решения этого дифференциального уравнения относительно iL(t) в виде экспонент:

где t = L/r — электромагнитная постоянная времени цепи (при расчетах принимается, что переходные процессы в цепи завершаются через три постоянных времени).

Таким образом, в начальный момент времени при t = t1 = 0 ток в цепи iL(t) = 0, а затем плавно (по экспоненте) нарастает до максимального установившегося значения ILm, которое ограничивается только величиной активного сопротивления ILm = U/r (внутренним сопротивлением источника напряжения, собственным активным сопротивлением катушки индуктивности, контактными сопротивлениями цепи).

При этом в катушке индуктивности запасется электрическая энергия WL = L ILm 2 / 2. Если в момент времени t2 разорвать электрическую цепь ключом Sw1, то запасенная в индуктивности электрическая энергия, стремясь разрядиться, создаст вероятность перенапряжения на обмотке катушки индуктивности с возможностью пробоя ее электрической изоляции. Для исключения этого нежелательного явления рекомендуется катушки индуктивности (например, обмотки возбуждения реле, контакторов и пр.) шунтировать диодами, включенными параллельно обмотке таким образом, что бы при разрыве цепи возникающая ЭДС самоиндукции разряжалась через шунтирующий диод, что эквивалентно включению ключа Sw2.

ЭДС самоиндукции eL(t) в начальный момент времени при t = t1 = 0скачком нарастает до своего максимального значения, находясь в противофазе с внешним приложенным к катушке напряжением и уравновешивая его eL(t) = ELm = —U, а затем плавно (по экспоненте) спадает до нуля.

Катушка индуктивности – электронный компонент, представляющий собой винтовую либо спиральную конструкцию, выполненную с применением изолированного проводника. Основным свойством катушки индуктивности, как понятно из названия – индуктивность. Индуктивность – это свойство преобразовать энергию электрического тока в энергию магнитного поля. Величина индуктивности для цилиндрической или кольцевой катушки равна

Где ψ — потокосцепление, µ0 = 4π*10-7 – магнитная постоянная, N – количество витков, S – площадь поперечного сечения катушки.

Также катушке индуктивности присущи такие свойства как небольшая ёмкость и малое активное сопротивление, а идеальная катушка и вовсе их лишена. Применение данного электронного компонента отмечается практически повсеместно в электротехнических устройствах. Цели применения различны:

Читайте также:  Как определить что пора менять свечи

— подавление помех в электрической цепи;
— сглаживание уровня пульсаций;
— накопление энергетического потенциала;
— ограничение токов переменной частоты;
— построение резонансных колебательных контуров;
— фильтрация частот в цепях прохождения электрического сигнала;
— формирование области магнитного поля;
— построение линий задержек, датчиков и т.д.

Энергия магнитного поля катушки индуктивности

Электрический ток способствует накоплению энергии в магнитном поле катушки. Если отключить подачу электричества, накопленная энергия будет возвращена в электрическую цепь. Значение напряжения при этом в цепи катушки возрастает многократно. Величина запасаемой энергии в магнитном поле равна примерно тому значению работы, которое необходимо получить, чтобы обеспечить появление необходимой силы тока в цепи. Значение энергии, запасаемой катушкой индуктивности можно рассчитать с помощью формулы.

Реактивное сопротивление

При протекании переменного тока, катушка обладает кроме активного, еще и реактивным сопротивлением, которое находится по формуле

По формуле видно, что в отличие от конденсатора, у катушки с увеличением частоты, реактивное сопротивление растет, это свойство применяется в фильтрах частот.

При построении векторных диаграмм важно помнить, что в катушке, напряжения опережает ток на 90 градусов.

Добротность катушки

Еще одним важным свойством катушки является добротность. Добротность показывает отношение реактивного сопротивления катушки к активному.

Чем выше добротность катушки, тем она ближе к идеальной, то есть она обладает только главным своим свойством – индуктивностью.

Конструкции катушек индуктивности


Конструктивно катушки индуктивности могут быть представлены в разном исполнении. Например, в исполнении однослойной или многослойной намотки проводника. При этом намотка провода может выполняться на диэлектрических каркасах разных форм: круглых, квадратных, прямоугольных. Нередко практикуется изготовление бескаркасных катушек. Широко применяется методика изготовления катушек тороидального типа.

Витки проводника, как правило, наматываются плотно один к одному. Однако в некоторых случаях намотка производится с шагом. Подобная методика отмечается, к примеру, когда изготавливаются высокочастотные дроссели. Намотка провода с шагом способствует снижению образования паразитной ёмкости, так же как и намотка, выполненная отдельными секциями.

Индуктивность катушки можно изменять, добавляя в конструкцию катушки ферромагнитный сердечник. Внедрение сердечников отражается на подавлении помех. Поэтому практически все дроссели, предназначенные для подавления высокочастотных помех, как правило, имеют ферродиэлектрические сердечники, изготовленные на основе феррита, флюкстрола, ферроксона, карбонильного железа. Низкочастотные помехи хорошо сглаживаются катушками на пермалоевых сердечниках или на сердечниках из электротехнической стали.

Введение

Думаю, что многие из читателей видели хотя бы один ролик на популярных видеосервисах, где электричество передается через пустое пространство при помощи индуктивных катушек.

В этой статье мы хотим обратиться к первоосновам процесса беспроводной передачи энергии с помощью магнитного поля. Начав с рассмотрения простейшей индуктивной катушки, и вычисления ее индуктивности, мы постепенно перейдем к теории электрических цепей, в рамках которой, будет показан и обоснован способ передачи максимальной мощности при прочих равных условиях. Итак, начнем.

Магнитное поле одиночного витка с током

Рассмотрим магнитное поле одиночного витка с током. Найдем магнитное поле витка в любой точке пространства. Почему необходимо подобное рассмотрение? Потому что почти во всех книгах, по крайней мере в тех, которые удалось отыскать автору статьи, решение данной задачи ограничивается нахождением лишь одной компоненты магнитного поля и лишь вдоль оси витка — $inline$B_z(z)$inline$ , в то время как мы отыщем закон для магнитного поля во всем пространстве.


Иллюстрация к закону Био-Савара-Лапласа

Для нахождения магнитного поля, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа (смотри Википедия — Закон Био-Савара-Лапласа). На рисунке видно, что центр системы координат $inline$O$inline$ совпадает с центром витка. Контур окружности витка обозначен как $inline$C$inline$ , а радиус окружности — как $inline$a$inline$ .По витку течет ток $inline$I$inline$ . $inline$vec$inline$ — это переменная-радиус-вектор из начала координат в произвольную точку витка. $inline$vec_0$inline$ — это радиус-вектор в точку наблюдения. Еще нам понадобится полярный угол $inline$varphi$inline$ — угол между радиус-вектором $inline$vec$inline$ и осью $inline$OX$inline$ . Расстояние от оси витка до точки наблюдения обозначим за $inline$
ho$inline$ . И наконец, $inline$mathrmvec
$inline$ — элементарное приращение радиус-вектора $inline$vec$inline$ .

Согласно закону Био-Савара-Лапласа, элемент контура с током $inline$mathrmvec$inline$ создает элементарный вклад в магнитное поле, который дается формулой

Теперь остановимся подробнее на переменных и выражениях, входящих в формулу. С учетом аксиальной симметрии задачи можем записать

Читайте также:  Как подбирать диван в интерьере

$$display$$|vec_0-vec|^3 = left(
ho^2 + a^2 + z^2 -2
ho acos<varphi>
ight)^<frac<3><2>>$$display$$

Для того чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно проинтегрировать по всему контуру витка, то есть

После подстановки всех выражений и некоторых тождественных преобразований получаем выражения для аксиальной и радиальной компоненты магнитного поля соответственно

Для нахождения абсолютного значения магнитного поля необходимо просуммировать компоненты по теореме Пифагора $inline$B = sqrt$inline$ .

Продемонстрируем полученное решение на примере витка радиуса $inline$a = 0.1$inline$ (м) и $inline$I=1$inline$ (А).


Амплитуда аксиальной компоненты магнитного поля


Амплитуда радиальной компоненты магнитного поля


Абсолютная амплитуда магнитного поля

Заметим, что для витка произвольной формы, на больших расстояниях $inline$zgg a$inline$ , т.е. много больше характерного размера витка, поведение магнитного поля будет стремиться к найденному решению.

Катушка индуктивности. Магнитно-связанные катушки

Теперь, когда мы знаем решение для магнитного поля одного витка, можем найти индуктивность катушки, состоящей из $inline$n$inline$ витков. По определению индуктивность — это коэффициент пропорциональности между током в витке и магнитным потоком через площадь сечения витка. Мы пользуемся здесь идеальной моделью катушки, которая безразмерна по направлению своей оси симметрии. Конечно же, на практике такого не бывает. Однако, как приближенные, полученные формулы будут достаточно хороши. Хотя катушки и считаются безразмерными вдоль $inline$OZ$inline$ , необходимо задаться ненулевым радиусом сечения провода. Обозначим его $inline$delta$inline$ , и пример равным $inline$delta=0,1$inline$ (мм). Иначе при интегрировании магнитного потока подынтегральное выражение обратится в бесконечность.


Индуктивно связанные катушки

На рисунке изображены две магнитно связанные катушки. Пусть первая катушка имеет радиус $inline$a_1$inline$ и содержит $inline$n_1$inline$ витков, а вторая — $inline$a_2$inline$ и $inline$n_2$inline$ соответственно. Тогда для нахождения собственных индуктивностей необходимо вычислить магнитный поток каждой катушки через свое собственное сечение.

Поскольку в катушке много витков, найдем величину, называемую потокосцепление, дважды умножив на количество витков

По определению, индуктивность это коэффициент пропорциональности $inline$L$inline$ в формуле $inline$Psi = LI$inline$ . Таким образом, получим собственные индуктивности катушек

Пусть центры катушек разделены расстоянием $inline$d$inline$ , лежат на одной оси, и их плоскости витков сориентированы параллельно. Для нахождения взаимной индуктивности, нужно вычислить потокосцепление, образуемое одной катушкой через сечение другой, то есть

Тогда взаимная индуктивность катушек дается выражением

Насколько известно автору, такие интегралы можно взять только численно.
Заметим, что как правило $inline$Psi_ <12>= Psi_<21>$inline$ и $inline$M_ <12>= M_ <21>= M$inline$ . Коэффициентом связи катушек называется величина

Исследуем зависимость коэффициента связи катушек от расстояния. Для этого рассмотрим две одинаковые катушки с радиусом витков $inline$a_1 = a_2 = 0.1$inline$ (м) и количеством витков $inline$n_1 = n_2 = 100$inline$ . При этом собственная индуктивность каждой из катушек составит $inline$L_1 = L_2 = 8.775$inline$ (мГн).


Коэффициент связи катушек от расстояния между ними

График не изменится, если одинаково изменить число витков в обеих катушках, либо одинаково изменить радиус обеих катушек. Коэффициент связи удобно выражать в процентах. Из графика видно, что даже при расстоянии между катушками в 1 (мм) коэффицент связи меньше 100%. Коэффициент падает до 10% на расстоянии порядка 60 (мм), и до 1% на 250 (мм).

Беспроводная передача энергии

Итак, нам известны индуктивности и коэффициент связи. Теперь воспользуемся теорией электрических цепей переменного тока для поиска оптимальных параметров, при которых передаваемая мощность оказалась бы максимальной. Для понимания этого параграфа читатель должен быть знаком с понятием электрического импеданса, а также с законами Кирхгофа и законом Ома. Как известно из теории цепей, две индуктивно-связанные катушки образуют воздушный трансформатор. Для анализа трансформаторов удобна Т-образная схема замещения.


Воздушный трансформатор и его эквивалентная схема

Передающую катушку слева будем условно называть «трасмиттер», а принимающую катушку справа — «ресивер». Между катушками коэффициент связи $inline$k$inline$ . На стороне ресивера находится потребитель, представленный нагрузкой $inline$z_L$inline$ . Нагрузка в общем случае может быть комплексной. Входное напряжение на стороне трансмиттера $inline$u_1$inline$ , а входной ток — $inline$i_1$inline$ . Напряжение, передаваемое на ресивер — $inline$u_2$inline$ , и передаваемый ток $inline$i_2$inline$ . Полный импеданс на стороне трансмиттера обозначим как $inline$z_1$inline$ , а полный импеданс на стороне ресивера $inline$z_2$inline$ .

Предполагается, что на вход схемы подается синусоидальное напряжение $inline$u_1 = u_<1m>sin<omega t>$inline$ .

Читайте также:  Осушитель воздуха для квартиры отзывы форум

Обозначим $inline$R_, R_, L_, L_, M$inline$ — сопротивления и индуктивности катушек (две собственные и одна взаимная) соответственно. Тогда, согласно теории трансформатора

$$display$$z_1 = R_ + jomega (L_ — M)$$display$$

$$display$$z_2 = R_ + jomega(L_ — M) + R_ + j X_$$display$$

С другой стороны, согласно нашим обозначениям

$$display$$z_1 = r_1 + j x_1$$display$$

$$display$$z_2 = r_2 + j x_2$$display$$

где $inline$r_1, r_2$inline$ — полные активные сопротивления на стороне трансмиттера и ресивера соответственно, и $inline$x_1, x_2$inline$ — полные реактивные сопротивления.

Импеданс связи равен $inline$z_3 = j omega M = j x_3$inline$ .

Найдем входной ток цепи

где знак $inline$||$inline$ обозначает параллельное соединение сопротивлений. Тогда напряжение, переданное на ресивер

$$display$$u_2 = u_1 — i_1 z_1 = u_1left(1 — frac
ight)$$display$$

И наведенный ток

Можем найти комплексную мощность, переданную в ресивер

$$display$$s_2 = u_2 i_2^* = p_2 + jq_2$$display$$

Таким образом имеем выражение для комплексной мощности

Выражение для активной компоненты мощности

Выражение для реактивной компоненты мощности

В большинстве практических задач требуется передать максимальную активную мощность, поэтому

$$display$$p_2
ightarrow mathrm Rightarrow left|frac
ight|^2
ightarrow mathrm
$$display$$

Либо, что то же самое

$$display$$left|z_1 + z_2 + frac
ight|^2
ightarrow mathrm$$display$$

$$display$$left|r_1 + jx_1 + r_2 + jx_2 +frac<(r_1 + jx_1)( r_2 + jx_2)>
ight|^2
ightarrow mathrm$$display$$

$$display$$frac<1>|(r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j(x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 — r_1r_2)|^2
ightarrow mathrm$$display$$

Для удобства введем функцию

$$display$$f(x_1,x_2) = (r_1x_3 + r_2x_3 + r_1x_2 + r_2x_1) + j(x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_2 — r_1r_2)$$display$$

и исследуем ее на наличие экстремумов

$$display$$|f(x_1,x_2)|^2
ightarrow mathrm$$display$$

Откуда получаем систему из двух уравнений

Эта система имеет пять решений, два из которых нефизичны, так как приводят к мнимым значениям величин, которым полагается быть действительными. Три других физических решения приведены ниже вместе с соответствующими формулами для мощности
Решение 1

$$display$$x_1 = -x_3,quad x_2 = -x_3$$display$$

Мощность для решений 2 и 3

Решение 2 и 3 нужно использовать, когда реактивное сопротивление связи достаточно велико

Когда же это не так, нужно использовать решение 1. Чаще всего в реальных ситуациях $inline$x_3$inline$ окажется мало, поэтому рассмотрим решение 1 несколько подробнее.
Решение 1: $inline$x_1 = -x_3,quad x_2 = -x_3$inline$ . И соответствующая ему активная мощность дается формулой

Из формулы мощности видно, что мощность зависит от реактивного сопротивления связи $inline$x_3 = 2pi,f,k,sqrtL_>$inline$ , а значит и от частоты передачи $inline$f$inline$ , и от геометрии взаимного расположения катушек, которая учитывается коэффициентом связи $inline$k$inline$ .

Как заметили внимательные читатели, зависимость $inline$p_2(x_3)$inline$ — нелинейная. Функция $inline$p_2(x_3)$inline$ достигает максимума при $inline$x_3 = sqrt$inline$ .


Исследование формулы мощности $inline$p_2(x_3)$inline$ на экстремумы

Максимальная активная мощность при $inline$x_3 = sqrt$inline$ равна

Таким образом, вышеозначенная формула представляет абсолютный теоретический предел переданной активной мощности при любых условиях. При этом для реактивной мощности, переданной в ресивер, имеем

Численное моделирование

Продемонстрировать работу всей вышеизложенной теории можно, выполнив симуляцию SPICE модели нашего устройства из двух связанных катушек.


SPICE модель двух индуктивно-связанных катушек

Симуляция выполнена для коэффициента связи $inline$k = 1$inline$ %, что соответствует 25 см удаления между катушками. Параметры катушек те же, что и в предыдущем параграфе, принятые для построения графика $inline$k$inline$ .

Получается, что реактивные сопротивления каждой из катушек необходимо скомпенсировать конденсаторами $inline$С_1$inline$ и $inline$С_2$inline$ . То есть настроить каждый из контуров (передающий и принимающий) в резонанс на заданной частоте. Если предположить, что величина нагрузки действительная, то величины емкостей могут быть найдены из формул

Ниже приведены два графика для переданного напряжения и переданной мощности во времени на частоте $inline$f=10$inline$ (кГц).


Переданное напряжение


Переданная мощность

Из рисунков видно, что на расстоянии 25 (см) переданное напряжение оказалось приблизительно в 2.5 меньше входного, а переданная пиковая мощность — приблизительно в 4 раза меньше мощности, потребляемой от входа, что согласуется с полученными формулами.

В заключении опишем, какие меры можно предпринять для увеличения передаваемой мощности:

  1. увеличить количество витков в катушках $inline$n_1, n_2$inline$
  2. увеличить радиус витков $inline$a_1, a_2$inline$
  3. увеличить частоту передачи $inline$f$inline$
  4. уменьшить расстояние между катушками $inline$d$inline$
  5. ввести магнитный сердечник, принадлежащий обеим катушкам (замкнутый либо открытый)
  6. ввести незамкнутый магнитный сердечник, принадлежащий лишь катушке-ресиверу

Пожалуй, написание этой статьи накладывает на автора обязательство изготовить и протестировать такую систему из двух катушек в лабораторных условиях, но это уже совсем другая история. Благодарю за внимание.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector